练习题 / Exercises
通过以下练习题巩固中点和垂直平分线的概念与应用
问题 / Problem：求下列线段的中点坐标：
a) \(A(2, 5)\) 和 \(B(8, 11)\)
b) \(P(-3, 7)\) 和 \(Q(5, -1)\)
c) \(M(0, -4)\) 和 \(N(6, 2)\)
a) 中点 = \(\left( \frac{2+8}{2}, \frac{5+11}{2} \right) = (5, 8)\)
b) 中点 = \(\left( \frac{-3+5}{2}, \frac{7+(-1)}{2} \right) = (1, 3)\)
c) 中点 = \(\left( \frac{0+6}{2}, \frac{-4+2}{2} \right) = (3, -1)\)
使用中点公式：\(M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)\)
记住要分别计算x坐标和y坐标的平均值。
问题 / Problem：线段 \({AB}\) 是一个圆的直径，其中 \(A(1, 3)\) 和 \(B(9, 11)\)。
a) 求圆心的坐标。
b) 如果点 \(C(5, 7)\) 在圆上，验证 \({AC}\) 是否垂直于 \({BC}\)。
a) 圆心（中点）= \(\left( \frac{1+9}{2}, \frac{3+11}{2} \right) = (5, 7)\)
b) 斜率 \(m_{AC} = \frac{7-3}{5-1} = 1\)，斜率 \(m_{BC} = \frac{7-11}{5-9} = 1\)
因为 \(m_{AC} \times m_{BC} = 1 \times 1 = 1 \neq -1\)，所以 \({AC}\) 不垂直于 \({BC}\)
实际上，点 \(C\) 与圆心重合，这说明 \(C\) 是圆心而不是圆上的点。
圆心是直径的中点。要验证垂直关系，检查斜率的乘积是否等于-1。
问题 / Problem：求下列线段的垂直平分线的斜率：
a) 连接 \(A(2, 3)\) 和 \(B(8, 9)\) 的线段
b) 连接 \(P(-1, 4)\) 和 \(Q(5, -2)\) 的线段
c) 连接 \(M(0, 0)\) 和 \(N(6, 8)\) 的线段
a) 原斜率 = \(\frac{9-3}{8-2} = 1\)，垂直斜率 = \(-1\)
b) 原斜率 = \(\frac{-2-4}{5-(-1)} = -1\)，垂直斜率 = \(1\)
c) 原斜率 = \(\frac{8-0}{6-0} = \frac{4}{3}\)，垂直斜率 = \(-\frac{3}{4}\)
步骤：1) 计算原线段的斜率 2) 取负倒数得到垂直斜率
如果原斜率是 \(m\)，则垂直斜率是 \(-\frac{1}{m}\)
问题 / Problem：求连接 \(A(1, 2)\) 和 \(B(7, 8)\) 的线段的垂直平分线方程。
步骤1：求中点 = \(\left( \frac{1+7}{2}, \frac{2+8}{2} \right) = (4, 5)\)
步骤2：求原斜率 = \(\frac{8-2}{7-1} = 1\)
步骤3：垂直斜率 = \(-1\)
步骤4：使用点斜式：\(y - 5 = -1(x - 4)\)
化简得：\(y = -x + 9\) 或 \(x + y - 9 = 0\)
记住四个步骤：1) 求中点 2) 求原斜率 3) 求垂直斜率 4) 写直线方程
问题 / Problem：三角形 \({ABC}\) 的顶点为 \(A(1, 1)\)、\(B(7, 3)\) 和 \(C(3, 7)\)。
a) 求边 \({AB}\) 的中点坐标。
b) 求边 \({AB}\) 的垂直平分线方程。
c) 验证点 \(C\) 是否在边 \({AB}\) 的垂直平分线上。
a) 中点 = \(\left( \frac{1+7}{2}, \frac{1+3}{2} \right) = (4, 2)\)
b) 原斜率 = \(\frac{3-1}{7-1} = \frac{1}{3}\)，垂直斜率 = \(-3\)
垂直平分线：\(y - 2 = -3(x - 4) \Rightarrow y = -3x + 14\)
c) 将 \(C(3, 7)\) 代入方程：\(7 = -3(3) + 14 = -9 + 14 = 5\)
因为 \(7 \neq 5\)，所以点 \(C\) 不在垂直平分线上。
要验证点是否在直线上，将点的坐标代入直线方程检查是否成立。
问题 / Problem：四边形 \({ABCD}\) 的顶点为 \(A(1, 2)\)、\(B(5, 6)\)、\(C(9, 2)\) 和 \(D(5, -2)\)。
a) 证明 \({ABCD}\) 是一个菱形。
b) 求对角线 \({AC}\) 的中点。
c) 求对角线 \({BD}\) 的中点。
d) 验证两条对角线是否互相垂直平分。
a) 计算四条边的长度：
\(AB = \sqrt{(5-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)
\(BC = \sqrt{(9-5)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)
\(CD = \sqrt{(5-9)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)
\(DA = \sqrt{(1-5)^2 + (2-(-2))^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)
四条边相等，所以是菱形。
b) \({AC}\) 中点 = \(\left( \frac{1+9}{2}, \frac{2+2}{2} \right) = (5, 2)\)
c) \({BD}\) 中点 = \(\left( \frac{5+5}{2}, \frac{6+(-2)}{2} \right) = (5, 2)\)
d) 两条对角线的中点相同，说明它们互相平分。
\({AC}\) 斜率 = \(\frac{2-2}{9-1} = 0\)（水平线）
\({BD}\) 斜率 = \(\frac{-2-6}{5-5}\) = 未定义（垂直线）
水平和垂直线互相垂直，所以对角线互相垂直平分。
菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分。先证明边长相等，再验证对角线性质。